# Guía de Estudio: Semana 11 – Estudio de Casos de Integración: Tanques Acoplados

**Materia:** Dinámica Industrial – Dinámica de Sistemas  
**Cátedra:** Ing. Nahuel Romera  
**Lecturas Obligatorias:** Sterman, John D. *Business Dynamics*, Capítulos 9 y 10 (Págs. 263 a 291); Enunciado Oficial del Examen Parcial de Cátedra (UADE).  

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## 1. El Problema de Examen: Tanques Acoplados en Edificio de 8 Pisos

Este caso de estudio constituye el modelo prototípico del **Primer Examen Parcial de Dinámica Industrial**. Requiere integrar conceptualización causal, diseño en Forrester, lógica condicional de control, deducción de EDOs, verificación dimensional estricta y simulación computacional.

```mermaid
flowchart TD
    Red((Red Pública / Nube)) ==>|Tubería Entrante| Entrada{{Válvula Entrada PB\n(Regulada por Ke)}}
    Entrada ==>|Litros/hora| TPB[Tanque Intermedio PB\n(Capacidad: 10.000 L\nInicial: 6.000 L)]
    TPB ==>|Tubería Bombeo| Salida{{Bomba / Válvula Ks\n(Salida PB -> Terraza)}}
    Salida ==>|Litros/hora| TTer[Tanque Principal Terraza\n(Capacidad: 50.000 L\nInicial: 1.500 L)]
    TTer ==>|Tubería Desagüe| Consumo{{Válvula Consumo\n(Consumo Edificio)}}
    Consumo ==>|Litros/hora| Desagüe((Consumo Población / Nube))

    TPB -.->|Información de nivel| Entrada
    TPB -.->|Información de nivel (Umbral 60%)| Salida
    TTer -.->|Información de vacío| Salida
    Hora[Hora del Día] -.->|Perfil Horario| Consumo
```

### Especificación Técnica del Enunciado Oficial:
1. **Tanque Intermedio (Planta Baja):**
   * Capacidad Máxima: $C_{\text{PB}} = 10.000 \text{ litros}$.
   * Nivel Inicial: $T_{\text{PB}}(0) = 6.000 \text{ litros}$.
   * Regulación de Entrada ($K_e = 0.10 \text{ h}^{-1}$): Se llena siempre al 10% del volumen de vacío de PB:
     $$\text{Volumen Vacío PB} = C_{\text{PB}} - T_{\text{PB}}(t)$$
     $$\text{Entrada}(t) = K_e \cdot \max(0, C_{\text{PB}} - T_{\text{PB}}(t))$$
2. **Tanque Principal (Terraza):**
   * Capacidad Máxima: $C_{\text{Ter}} = 50.000 \text{ litros}$.
   * Nivel Inicial: $T_{\text{Ter}}(0) = 1.500 \text{ litros}$.
   * Regulación de Bombeo / Salida ($K_s = 0.10 \text{ h}^{-1}$):
     * *Condición A (Nivel PB $> 60\%$ de su capacidad, es decir $> 6.000 \text{ L}$):* La bomba envía agua hacia terraza según el 10% del volumen de vacío de terraza:
       $$\text{Salida}(t) = K_s \cdot \max(0, C_{\text{Ter}} - T_{\text{Ter}}(t))$$
     * *Condición B (Nivel PB $\le 60\%$, es decir $\le 6.000 \text{ L}$):* Para proteger el tanque intermedio, la salida se limita al 10% del agua remanente en PB:
       $$\text{Salida}(t) = K_s \cdot T_{\text{PB}}(t)$$
3. **Consumo de Agua del Edificio:**
   * Edificio ocupado al 50%. Consumo normal base: $C_{\text{norm}} = 300 \text{ litros/hora}$.
   * El consumo instantáneo fluctúa con la hora del día mediante un multiplicador porcentual horario:
     $$\text{Consumo}(t) = C_{\text{norm}} \times \text{FactorHorario}(t \pmod{24})$$

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## 2. Resolución Metodológica Paso a Paso

### 2.1. Identificación de Bucles Causales (CLD)
* **Bucle 1 (Control de Llenado PB - B1):**  
  $$T_{\text{PB}} \xrightarrow{-} \text{Volumen Vacío PB} \xrightarrow{+} \text{Entrada} \xrightarrow{+} T_{\text{PB}}$$  
  Cantidad de signos $(-)$: 1 (impar) $\implies$ **Balance (B1)**. Estabiliza el nivel de PB evitando desbordes.
* **Bucle 2 (Acoplamiento Bombeo PB a Terraza - B2):**  
  $$T_{\text{PB}} \xrightarrow{+} \text{Salida PB} \xrightarrow{+} T_{\text{Ter}}$$ (en régimen bajo). Protege contra el vaciado total de PB.
* **Bucle 3 (Llenado Terraza - B3):**  
  $$T_{\text{Ter}} \xrightarrow{-} \text{Volumen Vacío Terraza} \xrightarrow{+} \text{Salida PB} \xrightarrow{+} T_{\text{Ter}}$$  
  Cantidad de signos $(-)$: 1 (impar) $\implies$ **Balance (B3)**. Frena el bombeo cuando la terraza se llena.

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### 2.2. Tabla Rigurosa de Consistencia Dimensional

| Elemento | Tipo Ontológico | Unidad de Medida | Justificación Física |
|---|---|:---:|---|
| **$T_{\text{PB}}$** | Variable de Nivel (Stock) | $\text{Litros}$ | Acumulación de agua en planta baja. |
| **$T_{\text{Ter}}$** | Variable de Nivel (Stock) | $\text{Litros}$ | Acumulación de agua en terraza. |
| **$K_e$** | Parámetro de Tasa | $\text{hora}^{-1}$ | Constante de regulación fraccional por hora. |
| **$K_s$** | Parámetro de Tasa | $\text{hora}^{-1}$ | Constante de bombeo fraccional por hora. |
| **$\text{Entrada}$** | Variable de Flujo (Inflow) | $\text{Litros/hora}$ | $[K_e] \times [\text{Litros}] = [1/\text{h}] \times [\text{L}] = \text{L/h}$. |
| **$\text{Salida}$** | Variable de Flujo (Bifurcado) | $\text{Litros/hora}$ | Caudal bombeado entre stocks. |
| **$\text{Consumo}$** | Variable de Flujo (Outflow) | $\text{Litros/hora}$ | Caudal extraído por los habitantes. |
| **$\text{Consumo Normal}$** | Parámetro Exógeno | $\text{Litros/hora}$ | Consumo nominal base de diseño. |
| **$\text{Factor Horario}$** | Variable Auxiliar / Lookup | $\text{Adimensional}$ | Multiplicador porcentual ($0.2$ a $1.8$). |

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### 2.3. Formulación de la Hipótesis Dinámica Matemática
El sistema es un **sistema acoplado de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de segundo orden** (2 variables de estado independientes):

$$\begin{cases}
\dfrac{dT_{\text{PB}}(t)}{dt} = \text{Entrada}(t) - \text{Salida}(t) \\[2ex]
\dfrac{dT_{\text{Ter}}(t)}{dt} = \text{Salida}(t) - \text{Consumo}(t)
\end{cases}$$

Con las siguientes ecuaciones constitutivas para los flujos:
$$\text{Entrada}(t) = K_e \cdot \max\left(0, 10000 - T_{\text{PB}}(t)\right)$$

$$\text{Salida}(t) = \begin{cases}
K_s \cdot \max\left(0, 50000 - T_{\text{Ter}}(t)\right) & \text{si } T_{\text{PB}}(t) > 6000 \\[1ex]
K_s \cdot T_{\text{PB}}(t) & \text{si } T_{\text{PB}}(t) \le 6000
\end{cases}$$

$$\text{Consumo}(t) = C_{\text{norm}} \times \text{LookupConsumo}(t \pmod{24})$$

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## 3. Análisis de Estabilidad y Jacobiano Simbólico con `SymPy`

Podemos linealizar el sistema en torno a un punto de operación por encima del 60% en PB:

$$\begin{cases}
\dfrac{dT_{\text{PB}}}{dt} = K_e (10000 - T_{\text{PB}}) - K_s (50000 - T_{\text{Ter}}) \\[1ex]
\dfrac{dT_{\text{Ter}}}{dt} = K_s (50000 - T_{\text{Ter}}) - C_{\text{cons}}
\end{cases}$$

Calculamos la Matriz Jacobiana:
$$J = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial T_{\text{PB}}} & \dfrac{\partial f_1}{\partial T_{\text{Ter}}} \\[2ex] \dfrac{\partial f_2}{\partial T_{\text{PB}}} & \dfrac{\partial f_2}{\partial T_{\text{Ter}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -K_e & K_s \\ 0 & -K_s \end{pmatrix}$$

Los autovalores de la matriz son:
$$\det(J - \lambda I) = (-K_e - \lambda)(-K_s - \lambda) = 0 \implies \lambda_1 = -K_e, \quad \lambda_2 = -K_s$$

* **Conclusión de Estabilidad:** Como $K_e > 0$ y $K_s > 0$, ambos autovalores son **reales y estrictamente negativos** ($\lambda_1 = -0.10, \lambda_2 = -0.10$). El sistema es **asintóticamente estable**, no presenta oscilaciones complejas espurias y converge suavemente a su atractor de estado estacionario.

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## 4. Auditoría de IA para la Semana 11

* **Alucinación Frecuente de LLMs:** Al escribir la ecuación de `Salida`, las IAs suelen omitir la condición de guardia $\max(0, \dots)$, permitiendo que si el tanque de terraza supera los 50.000 L, la salida se vuelva **negativa**, absorbiendo agua desde la terraza hacia la planta baja como si la bomba funcionara al revés.
* **Filtro de Corrección:** Toda ecuación de bombeo con limitación física debe incluir guardias no negativas y respetar el sentido unidireccional de las válvulas hidráulicas.