# Guía de Estudio: Semana 10 – Funciones y Análisis de Ecuaciones Diferenciales

**Materia:** Dinámica Industrial – Dinámica de Sistemas  
**Cátedra:** Ing. Nahuel Romera  
**Lecturas Obligatorias:** Sterman, John D. *Business Dynamics*, Capítulos 7 y 8 (Págs. 231 a 262); Aracil, Javier. *Dinámica de Sistemas*, Capítulos 3 y 4.  

---

## 1. La Hipótesis Dinámica Matemática y el Sistema de EDOs

Un Diagrama de Forrester no es una mera representación gráfica; es la formulación visual de un **sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de primer orden acopladas**:

$$\frac{d\vec{x}(t)}{dt} = \vec{f}(\vec{x}(t), \vec{p}, t)$$

Para cada variable de nivel $x_i(t)$:
$$\frac{dx_i(t)}{dt} = \sum_{j} \text{Inflow}_{ij}(t) - \sum_{k} \text{Outflow}_{ik}(t)$$

En forma integral:
$$x_i(t) = x_i(t_0) + \int_{t_0}^{t} \left[ \sum_{j} \text{Inflow}_{ij}(\tau) - \sum_{k} \text{Outflow}_{ik}(\tau) \right] d\tau$$

### Características del Sistema:
1. **Orden del Sistema:** Está determinado por el número de variables de nivel **independientes**. Un modelo con 3 stocks es un sistema de 3.º orden, capaz de manifestar comportamientos oscilatorios o no lineales complejos.
2. **Endogeneidad de los Flujos:** Las funciones de flujo no dependen del tiempo de forma abstracta, sino del estado actual de los stocks y de las variables auxiliares:
   $$\text{Rate}(t) = g(\vec{x}(t), \vec{p})$$

---

## 2. Métodos de Integración Numérica y Estabilidad de $\Delta t$

En la práctica ingenieril, las EDOs no lineales no admiten solución analítica cerrada; deben resolverse mediante **integración numérica**.

### 2.1. Método de Euler (Primer Orden Explícito)
Es el algoritmo estándar por su sencillez computacional:
$$x(t + \Delta t) = x(t) + \Delta t \cdot \left[ \text{Inflow}(t) - \text{Outflow}(t) \right]$$

* **Error de Truncamiento Local:** $O(\Delta t^2)$.
* **Error Global Acumulado:** $O(\Delta t)$.

### 2.2. Métodos de Runge-Kutta (RK4)
Evalúa cuatro pendientes intermedias ponderadas a lo largo del intervalo $[t, t + \Delta t]$:
$$k_1 = f(t, x)$$
$$k_2 = f\left(t + \frac{\Delta t}{2}, x + \frac{\Delta t}{2} k_1\right)$$
$$k_3 = f\left(t + \frac{\Delta t}{2}, x + \frac{\Delta t}{2} k_2\right)$$
$$k_4 = f(t + \Delta t, x + \Delta t \cdot k_3)$$
$$x(t + \Delta t) = x(t) + \frac{\Delta t}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$
* **Error Global:** $O(\Delta t^4)$, lo que permite pasos mayores con alta fidelidad.

### 2.3. Criterio de Selección y Estabilidad de $\Delta t$
> [!CAUTION]
> **Advertencia de Romera (`26C1-DI-Tradicional-20260520_183919.srt`):**  
> *"Para un delta T grande, podés tener un error gigantesco y una caída brutal que en la realidad no existe... Tienen que tener cuidado con la aproximación numérica porque una oscilación espuria del método de Euler te hace tomar decisiones desastrosas."*

* **Regla de Oro de Sterman:**
  $$\Delta t \le \frac{1}{4} \tau_{\min} \quad \text{o al menos} \quad \Delta t \le \frac{1}{2} \tau_{\min}$$
  donde $\tau_{\min}$ es la **constante de tiempo más rápida** del sistema (por ejemplo, el tiempo de ajuste o retraso más breve).
* **Prueba de Halving del Paso:** Si al reducir $\Delta t$ a la mitad ($\Delta t / 2$) las trayectorias de los stocks cambian significativamente o desaparecen oscilaciones, la simulación original sufría de **inestabilidad numérica espuria**.

---

## 3. Funciones Suaves (*Soft Functions / Table Functions / Lookups*)

Los modelos industriales lineales fallan porque las relaciones reales saturan, se agotan o encuentran límites físicos. Para modelar no linealidades sin perder rigor matemático, se utilizan las **Funciones Suaves o Tablas de Búsqueda (*Lookups*)**.

### Protocolo de Construcción de una Soft Function:
1. **Normalización de la Entrada:** Expresar la variable independiente como un cociente adimensional respecto a un valor nominal o deseado:
   $$\text{Ratio} = \frac{x}{x^*}$$
2. **Punto Ancla Normal:** Cuando el sistema opera en condiciones normales ($\text{Ratio} = 1$), el multiplicador resultante DEBE ser neutro:
   $$f(1.0) = 1.0$$
3. **Comportamiento Asintótico en Extremos:**
   * ¿Qué ocurre si la entrada tiende a cero ($x \to 0$)?
   * ¿Qué ocurre si la entrada tiende a infinito ($x \to \infty$)? (Límite de saturación física).

```mermaid
xychart-beta
    title "Efecto No Lineal del Hacinamiento en la Tasa de Mortalidad"
    x-axis ["0.0", "0.5", "1.0 (Normal)", "1.5", "2.0", "3.0"]
    y-axis "Multiplicador de Mortalidad" 0 --> 5
    line [0.8, 0.9, 1.0, 1.4, 2.2, 4.5]
```

### Funciones de Prueba Operativas de Sterman:
* **Escalón (`STEP(altura, t_step)`):** Modela una perturbación exógena súbita y permanente (e.g. salto de demanda).
* **Pulso (`PULSE(amplitud, t_inicio, duracion)`):** Modela un shock temporal que luego cesa (e.g. campaña promocional de un mes).
* **Rampa (`RAMP(pendiente, t_inicio, t_fin)`):** Modela un crecimiento o declive gradual sostenido.

---

## 4. Caso de Estudio: Agricultura y Colapso Maya (GUIA03)

* **Enunciado de Cátedra:** Población inicial de 100.000 habitantes que habitan en una superficie de 5.000 $\text{km}^2$ cubierta originalmente por selva. La población explota la selva para agricultura; sin embargo, la tala excesiva agota la fertilidad del suelo, provocando erosión irreversible, caída del rendimiento agrícola, hambruna y colapso demográfico.
* **Estructura Matemática:**
  1. $\frac{d(\text{Población})}{dt} = \text{Nacimientos} - \text{Muertes} - \text{Emigración}$.
  2. $\text{Muertes} = \text{Población} \times \text{Mortalidad\_Base} \times f(\text{Disponibilidad\_Alimento})$.
  3. $\frac{d(\text{Selva})}{dt} = -\text{Tasa\_Desmonte} + \text{Regeneración\_Natural}$.
  4. $\text{Rendimiento\_Agrícola} = \text{Rendimiento\_Máximo} \times g(\text{Fertilidad\_Suelo})$.

```mermaid
flowchart TD
    Pob[Población] -->|+ Demanda de comida| Desmonte[Tasa de Desmonte]
    Desmonte -->|- Reduce selva| Selva[Selva Virgen]
    Selva -->|+ Permite rotación y descanso| Fertilidad[Fertilidad del Suelo]
    Fertilidad -->|+ Alimento por hectárea| Alimento[Producción de Alimentos]
    Alimento -->|- Mitiga hambre| Muertes[Tasa de Mortalidad]
    Muertes -->|- Reduce población| Pob
```

---

## 5. Implementación Científica en Python (`SciPy solve_ivp`)

```python
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt

def modelo_poblacion_recursos(t, state, params):
    pob, selva, fertilidad = state
    k_nac, mort_base, tasa_cons = params
    
    # Normalizaciones
    alim_per_capita = (fertilidad * (5000 - selva)) / max(1.0, pob)
    mult_mortalidad = np.interp(alim_per_capita, [0, 0.5, 1.0, 2.0], [5.0, 2.0, 1.0, 0.8])
    
    nacimientos = pob * k_nac
    muertes = pob * mort_base * mult_mortalidad
    desmonte = max(0, min(selva, pob * 0.02)) if alim_per_capita < 1.0 else 0
    regeneracion = selva * 0.01 * (1 - selva / 5000)
    
    d_pob = nacimientos - muertes
    d_selva = regeneracion - desmonte
    d_fertilidad = -0.05 * desmonte + 0.02 * (selva / 5000)
    
    return [d_pob, d_selva, d_fertilidad]

# Parámetros y condición inicial
params = [0.03, 0.015, 1.0] # k_nac, mort_base, tasa_cons
y0 = [100000, 4800, 1.0]

sol = solve_ivp(modelo_poblacion_recursos, [0, 100], y0, args=(params,), method='RK45', max_step=0.5)
print(f"Simulación completa. Estado en t=100: Población = {sol.y[0][-1]:.0f}")
```

---

## 6. Auditoría de IA para la Semana 10

Al evaluar ecuaciones generadas por IA:
1. **Trampa Dimensional en Lookups:** La IA suele introducir funciones tabla donde la entrada tiene unidades de $[kg]$ y la salida suma directamente a una tasa sin multiplicar por unidades de tiempo. *Filtro:* Toda función tabla de efecto debe generar un multiplicador **adimensional** que pondere a la tasa base.
2. **Paso de Integración Alucinado:** La IA propone simular con `dt = 1` un proceso que tiene una válvula con tiempo de vaciado de 0.2 meses. *Filtro:* Exigir $\Delta t \le 0.05$.